{"id":7017,"date":"2023-01-11T19:05:36","date_gmt":"2023-01-11T18:05:36","guid":{"rendered":"https:\/\/www.drphotgraph.de\/?page_id=7017"},"modified":"2023-05-28T22:20:05","modified_gmt":"2023-05-28T20:20:05","slug":"bearbeitung-32bit-wavelets","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.drphotgraph.de\/?page_id=7017","title":{"rendered":"Bearbeitung: 32bit-Wavelets: Grundlagen"},"content":{"rendered":"\t\t<div data-elementor-type=\"wp-page\" data-elementor-id=\"7017\" class=\"elementor elementor-7017\">\n\t\t\t\t\t\t<section class=\"elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-4247c21d elementor-section-full_width elementor-hidden-desktop elementor-section-height-default elementor-section-height-default\" data-id=\"4247c21d\" data-element_type=\"section\" data-e-type=\"section\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-container elementor-column-gap-default\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-column elementor-col-50 elementor-top-column 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Theorie l\u00e4sst sich recht leicht auf zwei- oder mehrdimensionale Funktionen erweitern.\u00a0 Unsere Bilder sind hier Abbildungen von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}<\/span> nach <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}<\/span>.\u00a0 Betrachten wir nun als Beispiel ein Bild <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}<\/span>, welches der Gleichung<\/p><p><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"true\">\\newcommand{\\B}{\\textrm{B}}\\begin{equation*}\n\\B(x)\\,=\\,0.1\\sin(20x)+0.3\\sin(x)+0.16x-0.96\n\\end{equation*}<\/span><\/p><p>entspricht.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-column elementor-col-50 elementor-top-column elementor-element elementor-element-5ccd9eab\" data-id=\"5ccd9eab\" data-element_type=\"column\" data-e-type=\"column\">\n\t\t\t<div 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class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<figure class=\"wp-caption\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"498\" src=\"https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet01-1024x498.png\" class=\"attachment-large size-large wp-image-7197\" alt=\"Fotograf Dresden Wavelet Wavelets 32-bit-wavelets Frequenzseparierte Hautretusche Frequenztrennung\" srcset=\"https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet01-1024x498.png 1024w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet01-300x146.png 300w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet01-768x374.png 768w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet01-1536x747.png 1536w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet01-750x365.png 750w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet01.png 1916w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<figcaption class=\"widget-image-caption wp-caption-text\">Der Graph von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}<\/span>.<\/figcaption>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/figure>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<section class=\"elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-74ceb22 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default\" data-id=\"74ceb22\" data-element_type=\"section\" data-e-type=\"section\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-container elementor-column-gap-default\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-column elementor-col-50 elementor-top-column elementor-element elementor-element-651cb86\" data-id=\"651cb86\" data-element_type=\"column\" data-e-type=\"column\">\n\t\t\t<div class=\"elementor-widget-wrap elementor-element-populated\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-ab2a510 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"ab2a510\" data-element_type=\"widget\" data-e-type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<p>Wir k\u00f6nnen gut erkennen, dass sich in <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}<\/span> drei Strukturen \u00fcberlagern.\u00a0 Wir erkennen 38 sehr feine Wellen, diese Wellen sind feine Details, z.B. Poren, die in einer nat\u00fcrlichen Retusche unbedingt erhalten bleiben m\u00fcssen.\u00a0 Die beiden gr\u00f6\u00dferen Wellen sind z.B. Druckstellen von der Kleidung auf den Babybauch, die in der Retusche verschwinden sollen.\u00a0 Desweiteren wird das Bild von links nach rechts heller, vielleicht weil wir den Babybauch durch Licht-Schatten-Effekte in Szene setzten wollen.<\/p><p>Ebenso k\u00f6nnten wir uns einen anderen Anwendungsfall vorstellen: eine Braut steht am Fenster, die feinen Details sind Maschen im Stoff, die beiden gr\u00f6\u00dferen Wellen sind Falten im Kleid, und der Hell-Dunkel-Verlauf kommt durch das seitliche Licht vom Fenster zustande.<\/p><p>Die drei Strukturen entsprechen den drei Bestandteilen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0.1\\sin(20x)<\/span>, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0.3\\sin(x)<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0.16x-0.96<\/span> von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}<\/span>.<\/p><p>Wir m\u00f6chten nun die Druckstellen herausretuschieren und dabei die feinen Details und den Hell-Dunkel-Verlauf erhalten. Hierzu w\u00e4re es\u00a0 w\u00fcnschenswert, die drei Anteile seperat zu bearbeiten.\u00a0 Leider liefert uns der Kamerasensor keinen Funktionsterm, den wir in seine Bestandteile zerlegen k\u00f6nnen.\u00a0 Stattdessen liegt uns <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}<\/span> als gigantische Zahlenkolonne vor&#8230;<\/p><p>Wir k\u00f6nnen nun versuchen, die Retusche mit einem Gau\u00dfschen Weichzeichner\u00a0 zu bewerkstelligen.\u00a0 So experimentieren wir mit verschieden St\u00e4rken.<\/p><div class=\"gallery-post\"><style type=\"text\/css\">\n#foogallery-gallery-7212.fg-masonry .fg-item { width: 150px; }\n#foogallery-gallery-7212.fg-masonry { --fg-gutter: 2px; }<\/style>\n\t\t\t<style type=\"text\/css\">\n#foogallery-gallery-7212_1.fg-masonry .fg-item { width: 150px; }\n#foogallery-gallery-7212_1.fg-masonry { --fg-gutter: 2px; }<\/style>\n\t\t\t<div class=\"foogallery foogallery-container foogallery-masonry foogallery-lightbox-none fg-center fg-masonry fg-ready fg-dark fg-loading-default fg-loaded-fade-in fg-caption-hover fg-hover-fade fg-hover-plus fg-fixed\" id=\"foogallery-gallery-7212_1\" data-foogallery=\"{&quot;item&quot;:{&quot;showCaptionTitle&quot;:true,&quot;showCaptionDescription&quot;:true},&quot;lazy&quot;:true,&quot;template&quot;:{&quot;columnWidth&quot;:150,&quot;gutter&quot;:2}}\" style=\"--fg-title-line-clamp: 0; --fg-description-line-clamp: 0;\" >\n\t\t<div class=\"fg-item fg-type-image fg-idle\"><figure class=\"fg-item-inner\"><a href=\"https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet02a.png\" data-caption-title=\"Gau\u00dfscher Weichzeichner mit sigma=0.05.\" data-caption-desc=\"Gau\u00dfscher Weichzeichner mit sigma=0.05.\" data-attachment-id=\"7209\" data-e-disable-page-transition=\"true\" data-type=\"image\" class=\"fg-thumb\"><span class=\"fg-image-wrap\"><img decoding=\"async\" alt=\"Fotograf Dresden Wavelet Wavelets 32-bit-wavelets Frequenzseparierte Hautretusche Frequenztrennung\" title=\"Gau\u00dfscher Weichzeichner mit sigma=0.05.\" width=\"150\" height=\"73\" class=\"skip-lazy fg-image\" data-src-fg=\"https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/cache\/2023\/01\/wavelet02a\/2294135725.png\" src=\"data:image\/svg+xml,%3Csvg%20xmlns%3D%22http%3A%2F%2Fwww.w3.org%2F2000%2Fsvg%22%20width%3D%22150%22%20height%3D%2273%22%20viewBox%3D%220%200%20150%2073%22%3E%3C%2Fsvg%3E\" loading=\"eager\"><\/span><span class=\"fg-image-overlay\"><\/span><\/a><figcaption class=\"fg-caption\"><div class=\"fg-caption-inner\"><div class=\"fg-caption-desc\">Gau\u00dfscher Weichzeichner mit sigma=0.05.<\/div><\/div><\/figcaption><\/figure><div class=\"fg-loader\"><\/div><\/div><div class=\"fg-item fg-type-image fg-idle\"><figure class=\"fg-item-inner\"><a href=\"https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet02b.png\" data-caption-title=\"Gau\u00dfscher Weichzeichner mit sigma=0.16.\" data-caption-desc=\"Gau\u00dfscher Weichzeichner mit sigma=0.16.\" data-attachment-id=\"7210\" data-e-disable-page-transition=\"true\" data-type=\"image\" class=\"fg-thumb\"><span class=\"fg-image-wrap\"><img decoding=\"async\" alt=\"Fotograf Dresden Wavelet Wavelets 32-bit-wavelets Frequenzseparierte Hautretusche Frequenztrennung\" title=\"Gau\u00dfscher Weichzeichner mit sigma=0.16.\" width=\"150\" height=\"73\" class=\"skip-lazy fg-image\" data-src-fg=\"https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/cache\/2023\/01\/wavelet02b\/1692559064.png\" src=\"data:image\/svg+xml,%3Csvg%20xmlns%3D%22http%3A%2F%2Fwww.w3.org%2F2000%2Fsvg%22%20width%3D%22150%22%20height%3D%2273%22%20viewBox%3D%220%200%20150%2073%22%3E%3C%2Fsvg%3E\" loading=\"eager\"><\/span><span class=\"fg-image-overlay\"><\/span><\/a><figcaption class=\"fg-caption\"><div class=\"fg-caption-inner\"><div class=\"fg-caption-desc\">Gau\u00dfscher Weichzeichner mit sigma=0.16.<\/div><\/div><\/figcaption><\/figure><div class=\"fg-loader\"><\/div><\/div><div class=\"fg-item fg-type-image fg-idle\"><figure class=\"fg-item-inner\"><a href=\"https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet02c.png\" data-caption-title=\"Gau\u00dfscher Weichzeichner mit sigma=1.\" data-caption-desc=\"Gau\u00dfscher Weichzeichner mit sigma=1.\" data-attachment-id=\"7211\" data-e-disable-page-transition=\"true\" data-type=\"image\" class=\"fg-thumb\"><span class=\"fg-image-wrap\"><img decoding=\"async\" alt=\"Fotograf Dresden Wavelet Wavelets 32-bit-wavelets Frequenzseparierte Hautretusche Frequenztrennung\" title=\"Gau\u00dfscher Weichzeichner mit sigma=1.\" width=\"150\" height=\"73\" class=\"skip-lazy fg-image\" data-src-fg=\"https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/cache\/2023\/01\/wavelet02c\/179450023.png\" src=\"data:image\/svg+xml,%3Csvg%20xmlns%3D%22http%3A%2F%2Fwww.w3.org%2F2000%2Fsvg%22%20width%3D%22150%22%20height%3D%2273%22%20viewBox%3D%220%200%20150%2073%22%3E%3C%2Fsvg%3E\" loading=\"eager\"><\/span><span class=\"fg-image-overlay\"><\/span><\/a><figcaption class=\"fg-caption\"><div class=\"fg-caption-inner\"><div class=\"fg-caption-desc\">Gau\u00dfscher Weichzeichner mit sigma=1.<\/div><\/div><\/figcaption><\/figure><div class=\"fg-loader\"><\/div><\/div><\/div><\/div><p>Die originale Funktion <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}<\/span> ist rot, die weichgezeichneten Funktionen sind blau eingezeichnet.<\/p><p>Bei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma=0.05<\/span> haben wir die Poren schon etwas in Mitleidenschaft gezogen, an den Druckstellen hat sich nichts getan.<\/p><p>Bei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma=0.16<\/span> sind die Poren dem Weichzeichner komplett zum Opfer gefallen, allerdings haben wir an den Druckstellen keine sichtbaren Ergebnisse erreicht.\u00a0 An einem realen Bild w\u00fcrden wir damit eine porenfreie, gummiartig gegl\u00e4ttete Haut erhalten.<\/p><p>Am letzten Bild erkennen wir, dass erst bei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma=1<\/span> sichtbare Ergebnisse an den Druckstellen erzielt werden.<\/p><p>Mit dem Gau\u00dfschen Weichzeichner schaffen wir es nicht, die Druckstellen zu reduzieren und gleichzeitig die Poren zu erhalten. Wir k\u00f6nnten nun andere Retuschiertechniken versuchen.\u00a0 Mit dem in Mode gekommenen bilateralen Weichzeichner w\u00fcrden wir keine besseren Ergebnisse erzielen.\u00a0 Mit dem Kopierstempel br\u00e4uchten wir eine geeignete Quelle, was wegen des Hell-Dunkel-Verlaufes schwierig ist und au\u00dferdem, je nach Deckkraft, zu einem statistischen Ausl\u00f6schen der Poren f\u00fchren w\u00fcrde.<\/p><p>Der ideale Weg best\u00fcnde darin, das Bild in die drei Strukturen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0.1\\sin(20x)<\/span>, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0.3\\sin(x)<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0.16x-0.96<\/span> zu zerlegen.<\/p><p>Schauen wir uns zun\u00e4chst etwas genauer an, wie ein Gau\u00dfscher Weichzeichner auf eine Funktion <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(nx)<\/span> wirkt.\u00a0 Durch das Weichzeichnen erhalten wir ein neues Bild <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">w<\/span>. Dabei ist eine Stelle <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">w(x)<\/span> definiert als das gewichtete arithmetisches Mittel \u00fcber die gesamte <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span>-Achse:<\/p><p><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"true\">\\begin{equation*}w(x)\\,=\\,\\int\\limits_{\\hspace*{-1em}-\\infty}^{+\\infty\\hspace*{-1em}} \n\\underbrace{\\raisebox{-3ex}{}\\frac{1}{\\sigma\\sqrt{2\\pi}}\\;\\mathrm{e}^{-\\frac{1}{2}(\\frac{z-x}{\\sigma})^2}}_{\\mathrm{(*)}}\n\\sin(nz)\\mathrm{d}z\\;=\\;\\mathrm{e}^{-\\frac{n^2\\sigma^2}{2}}\\sin(nx).\n\\end{equation*}<\/span><\/p><p>Dabei ist <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(*)<\/span> (die Wichtung des arithmetischen Mittels) die Dichtefunktion der Gau\u00dfschen Normalverteilung, die einige von uns noch von dem letzten 10DM-Schein kennen.\u00a0 Wir erkennen nun, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">w<\/span> gerade <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(nx)<\/span> mit dem Faktor <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{e}^{-\\frac{n^2\\sigma^2}{2}}<\/span> ist.\u00a0 Der Exponent ist offensichtlich immer kleiner als 0, somit liegt der Faktor stets zwischen 0 und 1.\u00a0 Dadurch d\u00e4mpft der Faktor die Sinusschwingung und wir wollen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{e}^{-\\frac{n^2\\sigma^2}{2}}<\/span> den D\u00e4mpfungsfaktor nennen.<\/p><p>Als konkretes Beispiel wollen wir die Funktionen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(20x)<\/span>\u00a0 und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(x)<\/span> mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma=1.6<\/span> weichzeichnen und den Wert an der Stelle <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x=7.9<\/span> untersuchen.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-column elementor-col-50 elementor-top-column elementor-element elementor-element-9708fd3\" data-id=\"9708fd3\" data-element_type=\"column\" data-e-type=\"column\">\n\t\t\t<div class=\"elementor-widget-wrap\">\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<section class=\"elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-cd95e88 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default\" data-id=\"cd95e88\" data-element_type=\"section\" data-e-type=\"section\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-container elementor-column-gap-default\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-column elementor-col-100 elementor-top-column elementor-element elementor-element-7a451ae\" data-id=\"7a451ae\" data-element_type=\"column\" data-e-type=\"column\">\n\t\t\t<div class=\"elementor-widget-wrap elementor-element-populated\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-729f48e elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"729f48e\" data-element_type=\"widget\" data-e-type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<figure class=\"wp-caption\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"498\" src=\"https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet07-1024x498.png\" class=\"attachment-large size-large wp-image-7254\" alt=\"Fotograf Dresden Wavelet Wavelets 32-bit-wavelets Frequenzseparierte Hautretusche Frequenztrennung\" srcset=\"https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet07-1024x498.png 1024w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet07-300x146.png 300w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet07-768x374.png 768w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet07-1536x747.png 1536w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet07-750x365.png 750w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet07.png 1916w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<figcaption class=\"widget-image-caption wp-caption-text\">Die Graphen von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(20x)<\/span> (rot),  <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(x)<\/span> (gr\u00fcn) und die Dichte des Gau\u00dfschen Weichzeichners f\u00fcr <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma=1.6<\/span> und den Mittelwert <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma=7.9<\/span>.<\/figcaption>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/figure>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<section class=\"elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-e346c67 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default\" data-id=\"e346c67\" data-element_type=\"section\" data-e-type=\"section\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-container elementor-column-gap-default\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-column elementor-col-50 elementor-top-column elementor-element elementor-element-de8c331\" data-id=\"de8c331\" data-element_type=\"column\" data-e-type=\"column\">\n\t\t\t<div class=\"elementor-widget-wrap elementor-element-populated\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-8f42db9 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"8f42db9\" data-element_type=\"widget\" data-e-type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<p>Wenn wir das obige Integral betrachten, dann sind die Bereiche wesentlich, in denen sich die Dichtefunktion deutlich \u00fcber die <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span>-Achse erhebt, also in etwa der Bereich zwischen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">7.4<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">8.4<\/span>.&nbsp;<\/p>\n<p>Wenn wir nun <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(20x)<\/span> (den roten Graphen) weichzeichnen, dann erkennen wir, dass sich im Bereich der hohen blauen Kurve mehrere positive als auch negative Halbwellen von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(20x)<\/span> befinden.&nbsp; Diese l\u00f6schen sich im Integral gegenseitig weitgehened aus, wodurch das Integral sehr klein wird.&nbsp; Tats\u00e4chlich betr\u00e4gt der D\u00e4mpfungsfaktor <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{e}^{-\\frac{n^2\\sigma^2}{2}}\\,=\\,\\mathrm{e}^{-5.12}\\,\\approx\\,0.006<\/span> wodurch der Weichzeichner den Graphen glattb\u00fcgelt.<\/p>\n<p>Wenn wir nun <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(x)<\/span> (den gr\u00fcnen Graphen) weichzeichnen, dann befinden sich auschlie\u00dflich gro\u00dfe, positive Werte im wesentlichen Bereich.&nbsp; Eine Ausl\u00f6schung findet kaum statt, der Wert des Integrals ist fast so gro\u00df wie der Wert von&nbsp; <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(x)<\/span>. Tats\u00e4chlich betr\u00e4gt der D\u00e4mpfungsfaktor nun <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{e}^{-\\frac{n^2\\sigma^2}{2}}\\,=\\,\\mathrm{e}^{-0.0128}\\,\\approx\\,0.987.<\/span> Somit ver\u00e4ndert sich der Graph beim Weichzeichnen fast nicht.<\/p>\n<p>Somit ist klar, dass feine Details beim Weichzeichnen st\u00e4rker reduziert werden als grobe Details.&nbsp; Wenn wir beim Weichzeichnen von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(nx)<\/span> den Wert von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> verdoppeln, dann wirkt sich das beim D\u00e4mpfungsfaktor in der 4. Potenz aus, d.h. wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(nx)<\/span> auf den Faktor <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0.5<\/span> ged\u00e4mpft wird, dann wird <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(2nx)<\/span> auf den Faktor <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0.5^4=0.0625<\/span> ged\u00e4mpft.<\/p>\n<p>Mathematisch w\u00fcrde genau das gleiche passieren, wenn wir beim Weichzeichner <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma<\/span> verdoppeln.<\/p>\n<p>Jetzt zeichnen wir unser obiges Bild <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}<\/span> mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma=1.6<\/span> weich:<\/p>\n<p><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"true\">\\newcommand{\\B}{\\textrm{B}}\\begin{equation*}\n\\B_w(x)\\,=\\,\\int\\limits_{\\hspace*{-1em}-\\infty}^{+\\infty\\hspace*{-1em}} \n\\frac{1}{\\sigma\\sqrt{2\\pi}}\\;\\mathrm{e}^{-\\frac{1}{2}(\\frac{z-x}{\\sigma})^2}\n\\big(0.1\\sin(20z)+0.3\\sin(z)+0.16z-0.96\\big)\\mathrm{d}z\\;=\\;\\dots\\end{equation*}<\/span><\/p>\n<p><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"true\">\\begin{equation*}\\dots\\;=\\;\\mathrm{e}^{-5.12}\\cdot 0.1\\sin(20x)+\\mathrm{e}^{-0.0128}\\cdot 0.3\\sin(x)+0.16x-0.96.\n\\end{equation*}<\/span><\/p>\n<p>Ich habe nicht vergessen, den linearen Anteil zu integrieren, dieser hat das Integrieren unbeschadet \u00fcberstanden, er wurde also gar nicht ged\u00e4mpft.<\/p>\n<p>Wir erkennen die beiden D\u00e4mpfungsfaktoren <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{e}^{-5.12}\\,\\approx\\,0.006<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{e}^{-0.0128}\\,\\approx\\,0.987<\/span> wieder.&nbsp; Wir haben also mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}_w<\/span> ein Bild, in dem der Weichzeichner die feinen Details entfernt hat, die anderen Strukturen aber noch enthalten sind.&nbsp; Wenn wir jetzt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"true\">\\newcommand{\\B}{\\textrm{B}}\\begin{equation*}\n\\underline{\\B_0(x)}\\;=\\;\\B(x)-\\B_w(x)\\;\\approx\\;0.994\\cdot 0.1\\sin(20x) + 0.013\\cdot 0.3\\sin(x)\\;\\approx\\;\\underline{0.1\\sin(20x)}\\end{equation*}<\/span><\/p>\n<p>setzen, dann haben wir mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}_0<\/span> ein Bild, in dem nur noch die feinen Details (also die Poren) enthalten sind.<\/p>\n<p>Wir f\u00fchren den gleichen Prozess mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}_0<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma=4<\/span> durch:<\/p>\n<p><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"true\">\\newcommand{\\B}{\\textrm{B}}\\begin{equation*}\n\\B_{ww}(x)\\,=\\,\\int\\limits_{\\hspace*{-1em}-\\infty}^{+\\infty\\hspace*{-1em}}\n\\frac{1}{\\sigma\\sqrt{2\\pi}}\\;\\mathrm{e}^{-\\frac{1}{2}(\\frac{z-x}{\\sigma})^2}\n\\,\\B_w(x)\\,\\mathrm{d}z\\;=\\;\\dots\\end{equation*}<\/span><\/p>\n<p><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"true\">\\begin{equation*}\n\\dots\\;=\\;\\mathrm{e}^{-3205.12}\\cdot 0.1\\sin(20x)+\\mathrm{e}^{-8.0128}\\cdot 0.3\\sin(x)+0.16x-0.96\n\\end{equation*}<\/span><\/p>\n<p>Da beide D\u00e4mpfungsfaktoren verschwindend gering sind, enth\u00e4lt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}_{ww}<\/span> faktisch nur noch den linearen Anteil.&nbsp; Wenn wir wiederum die Differenz bilden<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"true\">\\newcommand{\\B}{\\textrm{B}}\\begin{equation*}\n\\underline{\\B_1(x)}\\;=\\;\\B_w(x)-\\B_{ww}(x)\\;\\approx\\;\\underline{0.3\\sin(x)},\\end{equation*}<\/span><\/p>\n<p>dann erhalten wir ein Bild <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}_1<\/span>, welches nur noch die Druckstellen&nbsp; enth\u00e4lt.&nbsp; Zu Vereinheitlichung setzen wir &nbsp;<\/p>\n<p><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"true\">\\newcommand{\\B}{\\textrm{B}}\\begin{equation*}\n\\underline{\\B_2(x)}\\;=\\;\\B_{ww}(x)\\;\\approx\\;\\underline{0.16x-0.96}\\end{equation*}\n<\/span><\/p>\n<p>und es gilt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"true\">\\newcommand{\\B}{\\textrm{B}}\\begin{equation*}\\B(x)\\;=\\;\\B_0(x)+\\B_1(x)+\\B_2(x).\\end{equation*}\n<\/span><\/p>\n<p>Damit haben wir das Kunstst\u00fcck geschafft, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}<\/span> in drei Schichten zu zerlegen, die jeweils die feinen, mittleren und groben Details enthalten.&nbsp; Da <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}_0<\/span> mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(20x)<\/span> gewisserma\u00dfen eine &#8222;h\u00f6here Frequenz&#8220; als <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}_1<\/span> mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(x)<\/span> hat, k\u00f6nnen wir von einer &#8222;Frequenztrennung&#8220; oder &#8222;frequenzseparierten (Haut)retusche&#8220; sprechen.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-column elementor-col-50 elementor-top-column elementor-element elementor-element-228fc3b\" data-id=\"228fc3b\" data-element_type=\"column\" data-e-type=\"column\">\n\t\t\t<div class=\"elementor-widget-wrap\">\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<section class=\"elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-2ad6ae4 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default\" data-id=\"2ad6ae4\" data-element_type=\"section\" data-e-type=\"section\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-container elementor-column-gap-default\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-column elementor-col-100 elementor-top-column elementor-element elementor-element-bb6c4b4\" data-id=\"bb6c4b4\" data-element_type=\"column\" data-e-type=\"column\">\n\t\t\t<div class=\"elementor-widget-wrap elementor-element-populated\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-e954e86 elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"e954e86\" data-element_type=\"widget\" data-e-type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<figure class=\"wp-caption\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"498\" src=\"https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet04-1024x498.png\" class=\"attachment-large size-large wp-image-7310\" alt=\"Fotograf Dresden Wavelet Wavelets 32-bit-wavelets Frequenzseparierte Hautretusche Frequenztrennung\" srcset=\"https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet04-1024x498.png 1024w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet04-300x146.png 300w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet04-768x374.png 768w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet04-1536x747.png 1536w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet04-750x365.png 750w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet04.png 1916w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<figcaption class=\"widget-image-caption wp-caption-text\">Die Zerlegung von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}<\/span>:  <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}_0<\/span> (rot), <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}_1<\/span> (blau) und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}_2<\/span> (gr\u00fcn).<\/figcaption>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/figure>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<section class=\"elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-b854e09 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default\" data-id=\"b854e09\" data-element_type=\"section\" data-e-type=\"section\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-container elementor-column-gap-default\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-column elementor-col-50 elementor-top-column elementor-element elementor-element-d74c252\" data-id=\"d74c252\" data-element_type=\"column\" data-e-type=\"column\">\n\t\t\t<div class=\"elementor-widget-wrap elementor-element-populated\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-6f13842 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"6f13842\" data-element_type=\"widget\" data-e-type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<p>Jetzt ist es nat\u00fcrlich naheliegend, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}_1<\/span> einfach wegzulassen, und die Summe <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\textrm{B}_0(x)+\\textrm{B}_2(x)<\/span> zu bilden. Dann erhalten wir ein Bild, welches die feinen Details und die groben Sturkturen, jedoch nicht die mittleren Strukturen enth\u00e4lt.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-column elementor-col-50 elementor-top-column elementor-element elementor-element-26ce30e\" data-id=\"26ce30e\" data-element_type=\"column\" data-e-type=\"column\">\n\t\t\t<div class=\"elementor-widget-wrap\">\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<section class=\"elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-1c26491 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default\" data-id=\"1c26491\" data-element_type=\"section\" data-e-type=\"section\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-container elementor-column-gap-default\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-column elementor-col-100 elementor-top-column elementor-element elementor-element-7a56f84\" data-id=\"7a56f84\" data-element_type=\"column\" data-e-type=\"column\">\n\t\t\t<div class=\"elementor-widget-wrap elementor-element-populated\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-c9143e3 elementor-widget elementor-widget-image\" data-id=\"c9143e3\" data-element_type=\"widget\" data-e-type=\"widget\" data-widget_type=\"image.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<figure class=\"wp-caption\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"498\" src=\"https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet05-1024x498.png\" class=\"attachment-large size-large wp-image-7317\" alt=\"Fotograf Dresden Wavelet Wavelets 32-bit-wavelets Frequenzseparierte Hautretusche Frequenztrennung\" srcset=\"https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet05-1024x498.png 1024w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet05-300x146.png 300w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet05-768x374.png 768w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet05-1536x747.png 1536w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet05-750x365.png 750w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet05.png 1916w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<figcaption class=\"widget-image-caption wp-caption-text\">Das originale Bild <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}<\/span> (rot) und das bearbeitetete Bild <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}_0+\\mathrm{B}_2<\/span> (blau).<\/figcaption>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/figure>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<section class=\"elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-0df5ced elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default\" data-id=\"0df5ced\" data-element_type=\"section\" data-e-type=\"section\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-container elementor-column-gap-default\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-column elementor-col-50 elementor-top-column elementor-element elementor-element-5dd7685\" data-id=\"5dd7685\" data-element_type=\"column\" data-e-type=\"column\">\n\t\t\t<div class=\"elementor-widget-wrap elementor-element-populated\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"elementor-element elementor-element-a7177c8 elementor-widget elementor-widget-text-editor\" data-id=\"a7177c8\" data-element_type=\"widget\" data-e-type=\"widget\" data-widget_type=\"text-editor.default\">\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-widget-container\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<p>Ebenso k\u00f6nnen wir die feinen Strukturen und den Hell-Dunkel-Verlauf abschw\u00e4chen, die mittleren Strukturen verst\u00e4rken und z.B. die Linearkombination\u00a0 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0.7\\cdot\\textrm{B}_0(x)+1.5\\cdot\\textrm{B}_1(x)+0.5\\cdot\\textrm{B}_2(x)<\/span> zu bilden.\u00a0 Auf diese Weise k\u00f6nnten wir z.B. die Falten des Brautkleids am Fenster effektvoll in Szene setzen.\u00a0 <\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<div class=\"elementor-column elementor-col-50 elementor-top-column elementor-element elementor-element-4b47ad6\" data-id=\"4b47ad6\" data-element_type=\"column\" data-e-type=\"column\">\n\t\t\t<div class=\"elementor-widget-wrap\">\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<section class=\"elementor-section elementor-top-section elementor-element elementor-element-f641426 elementor-section-boxed elementor-section-height-default elementor-section-height-default\" data-id=\"f641426\" data-element_type=\"section\" 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Frequenzseparierte Hautretusche Frequenztrennung\" srcset=\"https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet08-1024x498.png 1024w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet08-300x146.png 300w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet08-768x374.png 768w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet08-1536x747.png 1536w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet08-750x365.png 750w, https:\/\/www.drphotgraph.de\/wp-content\/uploads\/2023\/01\/wavelet08.png 1916w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/>\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<figcaption class=\"widget-image-caption wp-caption-text\">Das originale Bild <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{B}<\/span> (rot) und die die Linearkombination\u00a0 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0.7\\cdot\\textrm{B}_0(x)+1.5\\cdot\\textrm{B}_1(x)+0.5\\cdot\\textrm{B}_2(x)<\/span> (blau).<\/figcaption>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/figure>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>32bit-Wavelets 32bit-Wavelets Mathematische Grundlagen Wir betrachen hier der Einfachheit halber nur den eindimensionalen Fall, die Theorie l\u00e4sst sich recht leicht auf zwei- oder mehrdimensionale Funktionen erweitern.\u00a0 Unsere Bilder sind hier Abbildungen von nach .\u00a0 Betrachten wir nun als Beispiel 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